1. Счетность множества всех подмножеств натуральных чисел:

Возьмем любое число n первых элементов натурального множества, упорядоченного естественным образом. Из них образуем систему подмножеств . Эта система содержит конечное число элементов: . Продолжая построение по индукции, мы на каждом этапе получаем конечную (содержащую конечное число) систему. Устремим n к пределу (n→∞). В результате мы получаем систему 2^N, т.е. систему всех подмножеств натуральных чисел. По построению, на каждом этапе получается конечное множество (система). Значит, перейдя к пределу множество 2^N будет счетно.

2. Протеворечивость конструкции Кантора:

Берем интервал (множество точек) от 0 до 1, т.е. (0, 1) и методом Кантора строим число. Для выбора элементов из этого интервала берем функцию выбора - E (тождественная).
Результат операции обозначим через Y. Y удовлетворяет двум условиям:

1. Y не может принадлежать интервалу (0, 1) - по построению Кантора.

2. Y строго больше 0 и строго меньше 1 – по построению Кантора.

Итак, результат операции (Y) - принадлежит интервалу, и не принадлежит ему!
Далее, первая проблема гильберта звучит так:

Существует-ли множество, которое строго содержит в себе множество N и само строго содержится в множестве R?

Математик Коэн допустил, что такое множество есть. А из этого предположения он сделал вывод, что оно есть. Логически это выглядит так: из A следует А.
Не правдали гениально?!

Но перед тем, как решать 1 проблему Гильберта, Коэну надо было задастся вопросом: а не ошибся ли Кантор?